Cardinalidade de Conjuntos

Aprenda os conceitos essenciais sobre cardinalidade de conjuntos com um resumo para as principais provas de concursos.

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

A cardinalidade de conjuntos é um dos assuntos mais cobrados em questões de conjuntos e raciocínio lógico para concursos públicos. Ela permite determinar a quantidade de elementos pertencentes a um conjunto e resolver problemas envolvendo união, interseção e diferenças entre grupos. Embora o conceito seja simples, muitas questões exigem atenção à interpretação do enunciado e ao correto relacionamento entre os conjuntos.

Em provas de bancas como FGV, FCC e Cebraspe, é comum encontrar questões sobre pesquisas, preferências, idiomas, esportes, disciplinas estudadas ou qualquer situação em que um mesmo elemento possa pertencer a mais de um grupo. O candidato que domina a cardinalidade dos conjuntos consegue resolver essas questões rapidamente, mesmo sem recorrer a diagramas.

Neste artigo, você aprenderá o conceito de cardinalidade, conhecerá as principais fórmulas utilizadas em concursos e verá exemplos comentados no estilo das principais bancas examinadoras.

Confira os tópicos que serão abordados:

• Conjuntos numéricos;
• Cardinalidade de conjuntos;
• Exemplos resolvidos;
• Resumo.

Conjuntos Numéricos

Antes de estudar cardinalidade de conjuntos, é importante lembrar o conceito de conjunto.

Um conjunto é uma coleção de elementos que possuem alguma característica em comum.

Exemplos:

• A = {2, 4, 6, 8}
• B = {a, e, i, o, u}
• C = {Brasil, Argentina, Chile}

Os elementos pertencem ao conjunto utilizando o símbolo ∈.

Por exemplo:

4 ∈ A

Já quando um elemento não pertence ao conjunto, utiliza-se o símbolo ∉.

Exemplo:

5 ∉ A

Cardinalidade de Conjuntos

A cardinalidade dos conjuntos representa a quantidade de elementos de um conjunto.

Ela é normalmente indicada por:

n(A)

ou

|A|

As duas notações são aceitas e aparecem em livros e concursos.

Por exemplo:

A = {3, 5, 7, 9}

Logo:

n(A) = 4

Conjunto vazio

O conjunto vazio não possui elementos.

Representação:

∅

Portanto, a cardinalidade do conjunto vazio é:

n(∅) = 0

Cardinalidade da união

Quando queremos saber a cardinalidade da união de dois conjuntos, ou seja, quantos elementos pertencem a pelo menos um dos conjuntos, utilizamos a união.

Representação:

A ∪ B

Entretanto, devemos tomar cuidado com os elementos que pertencem aos dois conjuntos.

A fórmula é:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Observe que a interseção é subtraída porque foi contada duas vezes.

Por exemplo:

Em uma turma:

• 25 alunos estudam Matemática.
• 18 estudam Física.
• 10 estudam ambas.

Quantos estudam pelo menos uma das disciplinas?

Aplicando a fórmula:

n(Matemática ∪ Física) = n(Matemática) + n(Física) − n(Matemática ∩ Física)

n(Matemática ∪ Física) = 25 + 18 − 10

= 33

Resposta: 33 alunos.

Cardinalidade da interseção

A interseção representa os elementos comuns aos conjuntos.

Representação:

A ∩ B

Por exemplo:

Conjunto dos alunos que estudam:

• Física: {Carlos, Diego, Elisa}
• Matemática: {Ana, Bruno, Carlos, Diego}

Interseção: {Carlos, Diego}

Logo:

n(A ∩ B) = 2

Cardinalidade da diferença

A diferença representa os elementos que pertencem a um conjunto, mas não ao outro.

Representação:

A − B

Por exemplo:

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5}

A – B = {1, 2}

Logo:

n(A − B) = 2

Cardinalidade do complemento

O complemento corresponde aos elementos que pertencem ao conjunto universo, mas não pertencem ao conjunto considerado.

Representação:

Aᶜ

Por exemplo:

• Universo: 50 alunos.
• Matemática: 18 alunos.

Complemento:

50 − 18

= 32 alunos.

Três conjuntos

Quando o problema envolve três conjuntos, aplica-se o Princípio da Inclusão-Exclusão para determinar a cardinalidade dos conjuntos.

A fórmula é:

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

Embora pareça extensa, ela segue uma lógica simples:

• somamos os conjuntos individuais;
• subtraímos as interseções contadas duas vezes;
• adicionamos novamente a interseção dos três conjuntos, que foi retirada em excesso.

Esse modelo aparece com frequência em concursos envolvendo pesquisas e preferências.

Exemplos Resolvidos – Cardinalidade de Conjuntos

Exemplo 1 – cardinalidade de conjuntos

Uma pesquisa revelou que:

• 60 pessoas gostam de café;
• 40 gostam de chá;
• 25 gostam dos dois.

Quantas gostam de pelo menos uma dessas bebidas?

Resolução:

Como os apreciadores das duas bebidas foram contados duas vezes, a interseção deve ser subtraída.

Aplicando a cardinalidade da união de conjuntos:

60 + 40 − 25

= 75

Resposta: 75 pessoas.

Exemplo 2

Em uma pesquisa com 200 pessoas:

• 110 assistem ao canal A;
• 90 assistem ao canal B;
• 40 assistem aos dois canais.

Quantas pessoas não assistem a nenhum dos canais?

Resolução:

Primeiro calculamos quem assiste a pelo menos um canal:

110 + 90 − 40

= 160

Agora:

200 − 160

= 40

Resposta: 40 pessoas.

Questões desse tipo costumam exigir duas etapas: calcular a união e, depois, o complemento.

Exemplo 3

Uma pesquisa foi realizada com 150 estudantes sobre três idiomas.

Os resultados foram:

• 80 estudam inglês;
• 60 estudam espanhol;
• 50 estudam francês;
• 30 estudam inglês e espanhol;
• 20 estudam inglês e francês;
• 15 estudam espanhol e francês;
• 10 estudam os três idiomas.

Quantos estudantes estudam pelo menos um dos idiomas?

Resolução

Aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão:

80 + 60 + 50

− 30 − 20 − 15

+ 10

= 135

Resposta: 135 estudantes.

Resumo – Cardinalidade de Conjuntos

Para te ajudar a revisar, de forma rápida e estratégia, tudo o que vimos até aqui, preparamos um resumo.

Situação	Fórmula	Palavras-chave
Cardinalidade de um conjunto	n(A)	quantidade de elementos
União de dois conjuntos	n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)	pelo menos um, total
Interseção	n(A ∩ B)	ambos, simultaneamente
Diferença	n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)	apenas, somente
Complemento	n(Aᶜ) = n(U) − n(A)	nenhum, não pertencem
Três conjuntos	Princípio da Inclusão-Exclusão	três pesquisas, três grupos

Finalizando – Cardinalidade de Conjuntos

A cardinalidade de conjuntos é um tema fundamental para resolver problemas envolvendo pesquisas, classificações e agrupamentos. Embora as fórmulas sejam relativamente simples, o sucesso nas provas depende principalmente da correta interpretação do enunciado e da identificação da operação de conjuntos envolvida.

Com prática, torna-se natural identificar o tipo de operação necessária e aplicar as fórmulas de forma rápida e segura. Esse domínio permite resolver um tema bastante recorrente em concursos públicos e ainda serve de base para diversos outros assuntos de raciocínio lógico e matemática.

É importante reforçar que este conteúdo deve ser utilizado como complemento ao material em PDF, onde a abordagem é aprofundada e completa. Além disso, é fundamental praticar com muitas questões, preferencialmente separadas por banca, para entender as diferentes formas de cobrança.

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Bons estudos e até a próxima!

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